نمودار جدید برای شارش گرما و کار در چرخه‌ی کارنو

چکیده : نمودار جدید و ساده‌ای برای چرخه‌ی کارنو ارائه می‌شود که این نمودار علاوه بر پایستگی انرژی، پایستگی آنتروپی را هم نشان می دهد.
در یک چرخه‌ی کارنو رابطه شارش گرما Q2 در دمای بالای T2 با شارش گرمای Q1 در دمای پایین T1 چنین بیان می‌شود.
(1)
این رابطه با رعایت این قرار داد نوشته شده است که شارش گرما اگر به داخل سیستم باشد مثبت و اگر به خارج از سیستم باشد منفی است. کاری که در هر چرخه انجام می‌شود برابر است با
(2)
طبق قرارداد ترمودینامیک، کاری که توسط سیستم انجام می‌شود (مثل ماشین حرارتی) مثبت است و کاری که بر روی سیستم انجام شود (مثل یخچال و پمپ حرارتی) منفی است.
در نمودار متداول، شارش گرماهایQ1 , Q2 را به ترتیب با یک نوار پهن و یک نوار باریک نشان می‌دهند که بین سیستم و دو منبع دردمای بالا و دمای پایین کشیده شده‌اند. نوار دیگر هم که پهنایش برابر با اختلاف پهناهای این نوار‌هاست و از سیستم خارج می‌شود، نماینده‌ی کار W است. در نمودار ساده‌تر به جای این نوار‌ها از پیکان‌های نازک استفاده می‌شود.
نمودار متداول نواری به وضوح پایستگی انرژی را در یک چرخه‌ی کارنو نشان می‌دهد، که مانستۀ پایستگی ماده در شارش شاره است. اما این نمودار آنطور که باید جنبه‌ی دیگر چرخه‌ی کارنو یعنی پایستگی آنتروپی را نشان نمی‌دهد، زیرا هیچ تناسبی میان پهنای نوارها و دمای منبع‌ها در آن« مشاهده نمی‌شود (جدا از جنبه ی کیفی آن که نوار پایینی نازکتر از نوار بالایی است).
در این مقاله نمودار ساده‌ای برای چرخه‌ی کارنو پیشنهاد می‌شود که هم پایستگی آنرتوپی و هم پایستگی انرژی را نشان می‌دهد. برخلاف مدل نواری، نمودرا جدید نسبت‌های درست گرما و کار را برای هر دمایی نشان می‌دهد. به این منظور ابتدا خطی عمود که معرف دمای مطلق T است رسم می‌کنیم. سپس خط راست دیگری را طوری رسم می‌کنیم که خط اول را در T=0 قطع کند و با آن زاویه‌ای اختیاری ولی کوچکتر از 90 درجه بسازد طول‌های خطوط افقی‌ای که در چپ و راست خط مورب قرار می‌گیرند به ترتیب نماینده گرماهای
(Q1, Q2) و کار خالص در چرخ کارنواند. برای نشان دادن کمیت‌های مانند کارایی (ƞ=W/Q2) که فقط به صورت نسبتی از این کمیت‌ها وابسته بیان می‌شوند، هیچ یکای گرما و کار لازم نیست. چنانچه مقادیر واقعی W, Q2, Q1 لازم را داشته باشیم می‌توانیم یک محور افقی با مقیاس مناسب برای انرژی اضافه کنیم.
در این نمودار جهت‌های شارش گرما به داخل (یا به خارج) سیستم و کار انجام شده بر روی (یا توسط) سیستم به وسیله پیکان‌هایی که به داخلِ (یا به خارج) جعبه مستطیل شکل می‌روند نشان داده می‌شود، علامت جبری این جهت‌ها با توجه به جهت پیکان‌ها و با در نظر گرفتن قراداد ترمودینامیک (که قبلاً توضیح داده شد) تعیین می‌شود. بنابراین اگر سیستم مثل یک ماشین حرارتی عمل کند همه‌ی پیکان‌ها رو به پایین و اگر مثل یک پمپ حرارتی عمل کند همه پیکان‌ها رو به بالا خواهند بود.
با رعایت این نکات، شارش گرمای Q2 (در دمای بالاتر) با یک خط افقی نشان داده می‌شود که از T2 واقع بر محور دما تا خط مورب کشیده شده است. یک خط موازی و مساوی با خط قبلی که محور دما را در T1 قطع می‌کند توسط خط مورب به شارش گرمای Q1 (در دمای پایینتر) و کار چرخه (W) تقسیم می‌شود در این نمودار پایستگی انرژی از مساوی بودن طول‌های و خط افقی مشخص می‌شود و پایستگی آنتروپی از خواص هندسی مثلث‌های متشابه به دست می‌آید.
با توجه به طول‌های افقی و عمودی متناظر در مثلث‌های متشابه مشاهده می‌شود که کارایی ماشین کارنو ƞ=W/Q2 برابر با (T2-T1)/T2 است. با استفاده از همین روابط هندسی می‌توان نشان داد که ضریب عملکرد برای یخچال (c1=Q1/W) و برای پمپ حرارتی (C2=Q2/W) به ترتیب برابر با T1/(T2-T1) و T2/(T2-T1) است. بعلاوه برای نشان دادن بستگی این کمیت‌ها به دمای منبع‌ها می‌توان خطوط افقی را بالاتر برد یا پایینتر آورد. در هر حال خط بالایی را باید طوری رسم کرد که از محور دما تا محل تقاطع با خط مورب امتداد داشته باشد و خط پایینی را باید موازی و مساوی با آن کشید. جالب وقتی است که T1 ماشین کارنو نزدیک به صفر مطلق باشد. در این حال می‌بینیم که در این مورد تقریباً تمام گرمای Q2 تبدیل به کار می‌شود. مثال آخر، ترکیبی از دوچرخه کارنو است که از طریق منبع مشتریک که با دمای میانی (T1<T<T2)Tهر دو در یک جهت عمل می‌کنند. با کشیدن یک خط افقی دیگر از T و مشخص کردن قسمت‌های مربوط به گرما و کار در روی این خط می‌توان به راحتی نشان داد که چرخه‌های جفتیده، هم ارزِ یک چرخه کارنواند که بین منبع‌هایی در دماهای T2, T1 عمل کند.